Die Binomial-Koeffizienten findet man unter [OPTN] PROB (F4) nCr (F3)
Ein idealer Würfel wird 100 mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt die 6
| Tabelle erstellen mit der Binomialverteilung | |
| Variable n mit 100 und p mit 1/6 belegen und eine Tabelle
von 0 bis 100 erstellen lassen
Die Binomial-Koeffizienten findet man unter [OPTN] PROB (F4) nCr (F3) |
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| Die Wertetabelle wird in Liste 1 und 2 übertragen |
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| Die Teilsummen von Liste 2 in Liste 3 ablegen |
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| Die Lösung zu Teil a kann nun in Spalte 3 abgelesen werden (P = P(X<=15) = 0,388) |
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| Spalte 4 mit 100 Plätzen einrichten und mit einer 1 füllen |
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| Die Differenz von Spalte 4 und 3 berechnen und in Spalte 5 ablegen |
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| Die Lösung zu Teil b kann nun in Spalte 5 abgelesen werden P = P(X > 25) = 0,0119 |
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| Die Lösung zu c ): P(15 <=X >=25) = P(X<=25) - P(X<=14) = 0,988 - 0,701 (aus Spalte 3) |
| Auch ohne Listen kann man solche Fragen beantworten:
Lösung für a) Bcd mit x=15, n=100 und p = 1/6 liefert p=0,38765 |
 
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| Lösung für b) Wie oben mit x=25 liefert p=0,98812. Die Differenz zu 1 liefert die gesuchte Wahrscheinlichkeit p=0,01188 | |
| Lösung für c) Berechnung für x=25 und x= 14 und Differenzbildung liefert p=0,98812 – 0,28742 = 0,7007 | |
Erstellung von Listen zur Binomialverteilung |
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| RUN-Modus
:
In die Tabelle 1 die Zahlen von 0 bis 100 schreiben [OPTN] LIST Seq (F5) Syntax : Seq(Formel, Variable, Anfang, Ende, Schrittweite) |
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| STAT-Modus
:
DIST (F5) und dort die Binomialverteilung BINM [F5] wählen |
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| Bpd [F1] berechnet P(x) |  |
| Bcd [F2] berechnet P(0)+P(1)+...+P(x) |
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| Es entstehen dadurch schnell die oben beschriebenen Listen | 
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| Im STAT-Modus lassen sich auch einfache Grafiken der Wahrscheinlichkeitsverteilungen erstellen | 
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| Hier die Verteilung P(X = x) | 
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| und hier die summierte Verteilung P(X <= x) | 
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| Beispiel : Zwanzig Würfel werden geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man mindestens 3 aber höchstens 7 Mal die Zahl 6 | |
| Lösung : Gesucht ist p = P(3)+P(4)+...+P(7)STAT-Menu :Schreibe die Zahlen 3, 4, 5, 6 und 7 in Liste 1 |
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| Wende die Funktion Bpd auf Tabelle 1 an |
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| Summiere im RUN-Modus die Ans-Tabelle |
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| Beispiel : Berechne den Erwatungswert mit Hilfe der Summendefinition an verschiedenen Beispielen und überlege eine einfache Formel für den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariablen X. (entdeckendes Lernen) | |
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Lösung :
In die Liste 1 schreiben wir die Zahlen von 0
bis 120 mit Schrittweite 1 Seq(Formel, Variable,
Anfang, Ende, Schrittweite) |
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| Dann berechnen wir im STAT-Menu die Wahrscheinlichkeiten P(X=k) für die ganze Liste 1 | 
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Wir erhalten die Werte im Antwortspeicher wir wechseln ins RUN-Menu |
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Dieser wird zunächst in Liste 2 kopiert Liste 1 wird mit Liste 2 multipliziert und in Liste 3 gespeichert Die Summe aller Listenelemente aus Liste 3 wird
berechnet Der Erwartungswert ist 20 |
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| Hier sieht man die Einträge in die drei Listen |
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| Beispiel : (Bestimmung der Wahrscheinlichkeit p) Bei der Produktion von Keramikvasen ist eine zufällig aus der Produktion entnommene Vase mit einer Wahrscheinlichkeit p fehlerfrei. Wie groß muss p mindestens sein, wenn von 50 geprüften Vasen mit 80 % Wahrscheinlichkeit mindestens 35 fehlerfrei sein sollen? | |
| Lösung : Wir haben einen
Bernoulli-Versuch mit n=50 vor uns. Gesucht ist P(X>=35) >=0,8
Wir formen um P(X>=35) = 1- P(X<=34) >= 0,8 Wir erhalten : P(X<=34) <= 1-0,8 = 0,2 Den Wert können wir durch gezieltes Variieren von p ermitteln. |
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| Beispiel : (Bestimmung der Anzahl n von Versuchen) In einem Behälter befinden sich sieben weiße und drei rote Kugeln. Es werden mehrere Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wie viele Kugeln muss man Ziehen, damit die Wahrscheinlichkeit für genau 5 rote Kugeln maximal wird ? | |
| Lösung : Wir haben einen
Bernoulli-Versuch P(X=5) mit p= 0,3 vor uns. Die Anzahl der Wiederholungen
n ist unbekannt.
1. Variante : durch gezieltes Variieren von n und Vergleichen der Ergebnisse.
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| 2. Variante : im Graph - Modus mit der
Trace-Funktion tastet man die Werte ab.
Hinweis : Die Zeichnung funktioniert nur bei bestimmten Fenstergrößen, da der Binomialkoeffizient XC5 nur für ganzzahlige Werte von X definiert ist und dies nur bei geeigneten Schrittweiten in x Richtung der Fall ist. Die Maximumsuche funktioniert hier nicht
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| 3. Variante: Im Menu TABLE vermeiden wir die Problematik mit der Schrittweite. Wir lassen eine Tabelle von 5 bis 20 mit der Schrittweite 1 erzeugen. und können dann das Maximum leicht an der Tabelle oder an der damit erstellten Grafik ablesen |  
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| Fenstereinstellung hier : | 
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